Question

5．如图，二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0），与y轴正半轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：∠ACB=90°；
（3）P为抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，连接OP，若△OPM∽△ABC，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，则可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得C点坐标，再利用勾股定理可求得AC、BC和AB的长，利用勾股定理的逆定理可证明结论；
（3）可设出P点坐标，则可表示出PM和OM的长，利用相似三角形的性质可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）在y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2中，令x=0可得y=2，
∴C（0，2），
∵A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AC²+BC²=（$\sqrt{5}$）²+（2$\sqrt{5}$）²=25=AB²，
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，
∴∠ACB=90°；
（3）∵P为抛物线上一点，
∴可设P点坐标为（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），
∴OP=|t|，
当点P在x轴上方时，则有PM=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2，
∵△OPM∽△ABC，
∴$\frac{PM}{BC}$=$\frac{OM}{AC}$，即$\frac{-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$，解得t=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$或t=$\frac{7-\sqrt{65}}{2}$，
当t=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$时，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=-1+$\sqrt{17}$，此时P（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，-1+$\sqrt{17}$），
当t=$\frac{7-\sqrt{65}}{2}$时，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=$\sqrt{65}$-7，此时P（$\frac{7-\sqrt{65}}{2}$，$\sqrt{65}$-7），
当点P在x轴下方时，同理可求得t=$\frac{7+\sqrt{65}}{2}$或t=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，
当t=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$时，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=-1-$\sqrt{17}$，此时P（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，-1-$\sqrt{17}$），
当t=$\frac{7+\sqrt{65}}{2}$时，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=-$\sqrt{65}$-7，此时P（$\frac{7+\sqrt{65}}{2}$，-$\sqrt{65}$-7），
综上可知点P的坐标为（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，-1+$\sqrt{17}$）或（$\frac{7-\sqrt{65}}{2}$，$\sqrt{65}$-7）或（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，-1-$\sqrt{17}$）或（$\frac{7+\sqrt{65}}{2}$，-$\sqrt{65}$-7）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质、方程思想及分类讨论思想．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中求得AB、AC、BC的长度是解题的关键，在（3）中用相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（3）问的计算量很大．