Question

已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．
（1）如图1，求证△ABF∽△COE；
（2）如图2，点O是AC边的中点，AB=1，AC=2．①求证BF=OE；②求OE的长．

Answer 1

分析：（1）由垂直的性质和等量代换，可得∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE，即可证得；
（2）①易得AB=OC，由（1）知△ABF∽△COE，即可证明BF=OE；②根据三角形的面积得AD=

2 5

5

，由勾股定理得BO、BD的长，设OE=BF=x，由又△BDF∽△BOE，可得出DF=

10

10

x，在直角△DFB中，根据勾股定理解答出即可．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠C，
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE，
∴△ABF∽△COE；

（2）①∵O是AC边的中点，AC=2，
∴AO=OC=1，
∵AB=1，
∴AB=OC，
由（1）知△ABF∽△COE，
∴△ABF≌△COE，
∴BF=OE；
②在直角△ABC中，BC=

AB2+AC2

=

12+22

=

5

，
由S_△ABC=

1

2

AB×AC=

1

2

AD×BC得，2=

5

AD，
∴AD=

2 5

5

，
在直角△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

12-( 2 5 5 )2

=

5

5

，
在直角△ABO中，BO=

AB2+AO2

=

12+12

=

2

，
∵∠BDF=∠BOE=90°，∠FBD=∠EBO，
∴△BDF∽△BOE，
∴

BD

BO

=

DF

OE

，
设OE=BF=x，
∴

5 5

2

=

DF

x

，
∴DF=

10

10

x，
在直角△DFB中，由BF²=BD²+FD²，
得，x²=

1

5

+

1

10

x²，
∴x=

2

3

，
∴OE的长为

2

3

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、垂线的性质及勾股定理，根据三角形的相似，列出关系式是解答的关键．