Question

已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=

2

+1，D是BC中点，作半径是

3

2

的圆经过点A和D且交AB于F，交AC于E．求∠ADF的正弦值．

Answer 1

分析：连接EF，DE，根据题意，可得EF为⊙O的直径，继而推出△EDC≌△FDA，AF=CE，然后在Rt△AEF中，根据勾股定理，即可求出AF的长度，由∠ADF=∠AEF，即可推出∠ADF的正弦值．

解答：解：连接EF，ED（1分）
在△ABC中
∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，
∴AD=

1

2

BC=CD，∠DAF=∠DCE=45°，∠ADC=90°，（2分）
∴∠ADE+∠EDC=90°，
在⊙O中，
∵∠BAC=90°，
∴EF是⊙O的直径，（3分）
∴∠FDE=90°，
∴∠FDA+∠ADE=90°，
∴∠EDC=∠FDA，
∴△EDC≌△FDA，
∴AF=CE，（4分）
设AF=x，则CE=x，AE=AC-CE=

2

+1-x，
∵⊙O的半径是

3

2

，
∴EF=

3

，
在Rt△AEF中，x2+(

2

+1-x)2=(

3

)2，
解得x1=1，x2=

2

，
∠ADF=∠AEF，（5分）
∴当x=1时，sin∠ADF=sin∠AEF=

AF

EF

=

3

3

，
当x=

2

时，sin∠ADF=sin∠AEF=

AF

EF

=

6

3

，
∴∠ADF的正弦值为

3

3

或

6

3

．（7分）

点评：本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，解题的关键在于求出AF=CE，解Rt△AEF，∠ADF=∠AEF．