Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且∠A=∠BOC=60°．
求证：△ADB≌△OBC．

Answer 1

证明：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ADB=∠OBC=90°（3分）
∵∠A=∠BOC=60°，
∴∠ABD=30°，（5分）
∴AD=AB=OB，（7分）
∴△ADB≌△OBC．（9分）
分析：根据圆周角定理和切线的性质求得∠ADB=∠OBC=90°；再由已知条件“∠A=∠BOC=60°”及直角三角形中的两个锐角互余的性质求得∠ABD=30°；最后由直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求得AD=AB=OB；所以，根据全等三角形的判定定理ASA证明结论即可．
点评：本题综合考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常利用直角三角形解决有关问题．