Question

如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC，AF．

（1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）若BC＝6，∶=1∶2，求⊙O的半径的长．

Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OB ．

∵  PB是⊙O的切线，

∴ ∠PBO＝90°．

∵ OA＝OB，BA⊥PO于D，

∴ AD＝BD，∠POA＝∠POB．

又∵ PO＝PO，

∴ △PAO≌△PBO．

∴ ∠PAO＝∠PBO＝90°．

∴ 直线PA为⊙O的切线．          ………………..2分

（2）∵ OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，

∴ OD＝BC＝3．

设AD＝x．

∵∶=1∶2，

∴ FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．

在Rt△AOD中，由勾股定理 ，得(2x－3)²＝x²＋3²．

解之得，x₁＝4，x₂＝0（不合题意，舍去）．

∴ AD＝4，OA＝2x－3＝5．

           即⊙O的半径的长5．               ………………..5分