Question

如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）若BC=6，AD：FD=1：2，求⊙O的半径的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OB．
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°．
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB．
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°．
∴直线PA为⊙O的切线．

（2）解：∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=BC=3．
设AD=x．
∵AD：FD=1：2，
∴FD=2x，OA=OF=2x-3．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x-3）²=x²+3²．
解之得，x₁=4，x₂=0（不合题意，舍去）．
∴AD=4，OA=2x-3=5．
即⊙O的半径的长5．
分析：（1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．
（2）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值．
点评：此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，综合考查的知识点较多，关键是熟练掌握一些基本性质和定理，在解答综合题目是能灵活运用．