Question

如图，已知⊙Ｏ的弦ＡＢ等于半径，连结ＯＢ并延长使ＢＣ＝ＯＢ．

（１）∠ＡＢＣ＝　　　　　°；
（２）ＡＣ与⊙Ｏ有什么关系？请证明你的结论；
（３）在⊙Ｏ上，是否存在点Ｄ，使得ＡＤ＝ＡＣ？若存在，请画出图形，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（１）１２０°（２）ＡＣ是⊙Ｏ的切线，证明见解析（３）存在，证明见解析

解：（１）１２０°；……………………………………………………………１分
（２）ＡＣ是⊙Ｏ的切线．……………………………………………………３分
证法一
∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＯＡ，∴△ＯＡＢ为等边三角形，…………………………４分
∴∠ＯＢＡ＝∠ＡＯＢ＝６０°．……………………………………………５分
∵ＢＣ＝ＢＯ，∴ＢＣ＝ＢＡ，
∴∠Ｃ＝∠ＣＡＢ，……………………………………………………………６分
又∵∠ＯＢＡ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＢ＝２∠Ｃ，
即２∠Ｃ＝６０°，∴∠Ｃ＝３０°，………………………………………７分
在△ＯＡＣ中，∵∠Ｏ＋∠Ｃ＝６０°＋３０°＝９０°，
∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分
∴ＡＣ是⊙Ｏ的切线；
证法二：
∵ＢＣ＝ＯＢ，∴点Ｂ为边ＯＣ的中点，……………………………………４分
即ＡＢ为△ＯＡＣ的中位线，…………………………………………………５分
∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ，即ＡＢ是边ＯＣ的一半，……………………………６分
∴△ＯＡＣ是以ＯＣ为斜边的直角三角形，…………………………………７分
∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分
∴ＡＣ是⊙Ｏ的切线；
（３）存在．……………………………………………………………………９分
方法一：
如图２，延长ＢＯ交⊙Ｏ于点Ｄ，即为所求的点．…………………………１０分
证明如下：
连结ＡＤ，∵ＢＤ为直径，∴∠ＤＡＢ＝９０°．…………………………１１分
在△ＣＡＯ和△ＤＡＢ中，
∵，∴△ＣＡＯ≌△ＤＡＢ（ＡＳＡ），………………１２分
∴ＡＣ＝ＡＤ．…………………………………………………………………１３分
（也可由ＯＣ＝ＢＤ，根据ＡＡＳ证明；或ＨＬ证得，或证△ＡＢＣ≌△ＡＯＤ）
方法二：
如图３，画∠ＡＯＤ＝１２０°，……………………………………………１０分
ＯＤ交⊙Ｏ于点Ｄ，即为所求的点．…………………………………………１１分
∵∠ＯＢＡ＝６０°，
∴∠ＡＢＣ＝１８０°－６０°＝１２０°．
在△ＡＯＤ和△ＡＢＣ中，
∵，∴△ＡＯＤ≌△ＡＢＣ（ＳＡＳ），………………１２分


∴ＡＤ＝ＡＣ．…………………………………………………………………１３分
（１）由已知可知△AOB为等边三角形，利用平角求出∠ＡＢＣ的度数
（２）利用直角三角形的性质求出∠ＯＡＣ＝９０°，从而得出结论
（３）延长ＢＯ交⊙Ｏ于点Ｄ，即为所求的点，利用全等三角形求证