Question

【题目】已知：如图1，将两块全等的含30角的直角三角板按图所示的方式放置，∠BAC=∠B1A1C=30°，点B，C，B1在同一条直线上．

（1）求证：AB=2BC

（2）如图２，将△ABC绕点Ｃ顺时针旋转α°（0＜α＜180），在旋转过程中，设AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．当α等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．

（3）如图3，当△ABC绕点C顺时针方向旋转至如图所示的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D=CD.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直.

（3）理由见解析

【解析】试题分析：(1)由等边三角形的性质得AB=BB1，又因为BB1=2BC，得出AB=2BC;

(2) 利用AB与A1B1垂直得∠A1ED=90°，则∠A1DE=90°-∠A1=60°，根据对顶角相等得∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形内角和定理得∠A1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA1=90°-∠A1CB=30°，然后根据旋转的定义得到旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直；

(3)由于AB∥CB1，∠ACB1=90°，根据平行线的性质得∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=AC，再根据旋转的性质得AC=A1C，所以CD=A1C，则A1D=CD．

试题解析：

（1）∵△ABB1是等边三角形；

∴ AB=BB1

∵ BB1=2BC

∴AB=2BC

（2）解：当AB与A1B1垂直时，∠A1ED=90°，

∴∠A1DE=90°-∠A1=90°-30°=60°，

∵∠B=60°，∴∠BCD=60°，

∴∠ACA1=90°-60°=30°，

即当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直.

（3）∵AB∥CB1，∠ACB1=90°，

∴∠CDB=90°，即CD是△ABC的高，

设BC= ，AC= ，则由（1）得AB=，A1C= ，

∵，

即

∴，即CD=A1C，

∴A1D=CD.