Question

14．如图所示，已知∠AOB=60°，☉O₁与∠AOB的两边都相切，沿OO₁方向做☉O₂与∠AOB的两边相切，且与☉O₁外切，再作☉O₃与∠AOB的两边相切，且与☉O₂外切，…，如此作下去，☉O_n与∠AOB的两边相切，且与☉O_n-1外切，设☉O_n的半径为r_n，已知r₁=1则r₂₀₁₆=3²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，根据相似三角形的性质分别求半径r₂、r₃、…、并找规律，得出结论．

解答 解：设⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃与边OA的切点为G、M、N，
连接O₁G、O₂M、O₃N，
则O₁G⊥OA、O₂M⊥OA、O₃N⊥OA，
∴O₁G∥O₂M∥O₃N，
∵⊙O₁与∠AOB的两边都相切，∠AOB=60°，
∴∠AOO₁=∠BOO₁=30°，
∵OG=r₁=1，
∴OO₁=2，
∵O₁G∥O₂M，
∴△OO₁G∽△OO₂M，
∴$\frac{{O}_{1}G}{{O}_{2}M}$=$\frac{O{O}_{1}}{O{O}_{2}}$，
∴$\frac{1}{{r}_{2}}$=$\frac{2}{2+1+{r}_{2}}$，
∴r₂=3，
同理得：$\frac{3}{{r}_{3}}$=$\frac{6}{6+3+{r}_{3}}$，
∴r₃=9=3²，
…
∴r₂₀₁₆=3²⁰¹⁵，
故答案为：3²⁰¹⁵．

点评 本题考查了切线长定理和切线的性质，本题可以看作是从圆外一点引圆的两条切线，可以得它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．根据这此结论与平行相似的判定结合，利用相似三角形的性质依次求圆的半径即可．