Question

【题目】如图,已知点A. B在双曲线y= (x>0)上，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点.

(1)设A的横坐标为m，试用m、k表示B的坐标.

(2)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由.

(3)若△ABP的面积为3，求该双曲线的解析式.

Answer 1

【答案】（1）B(2m,)；（2）四边形ABCD是菱形，理由见解析；（3）y= .

【解析】

（1）根据点P是AC的中点得到点A的横坐标是m，结合反比例函数图象上点的坐标特征来求点B的坐标；

（2）根据点P的坐标得到点P是BD的中点，所以由“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得到四边形ABCD是菱形；

（3）由△ABP的面积为3，知BPAP=6．根据反比例函数 y=中k的几何意义，知本题k=OCAC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC=BP，AC=2AP，进而求出k的值．

(1)∵A的横坐标为m，AC⊥x轴于C，P是AC的中点，

∴点B的横坐标是2m.

又∵点B在双曲线y=(x>0)上，

∴B(2m,).

(2)连接AD、CD、BC；

∵AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，

∴AC⊥BD；

∵A(m, ),B(2m, )，

∴P(m, )，

∴PD=PB，

又AP=PC，

∴四边形ABCD是菱形；

(3)∵△ABP的面积为BPAP=3，

∴BPAP=6，

∵P是AC的中点，

∴A点的纵坐标是B点纵坐标的2倍，

又∵点A. B都在双曲线y= (x>0)上，

∴B点的横坐标是A点横坐标的2倍，

∴OC=DP=BP，

∴k=OCAC=BP2AP=12.

∴该双曲线的解析式是：y= .