Question

5．在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADB度数为（　　）

• A． 15°
• B． 17°
• C． 16°
• D． 32°

Answer 1

分析 首先连接AC，根据AM⊥CD，AN⊥BC，判断出四边形AMCN是圆内接四边形，进而求出∠BCD=106°；然后判断出∠ABD=∠ADB，根据∠ABC+∠ADC=∠ACB+∠ACD=106°，求出∠ADB的度数是多少即可．

解答 解：如图，连接AC，，
∵AM⊥CD，AN⊥BC，
∴四边形AMCN是圆内接四边形，
∴∠MAN+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠MAN=180°-74°=106°，
∴∠BDC=180°-41°-106°=33°，
∵M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，
∴AB=AC=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，∠ADC=∠ACD，
∴∠ABC+∠ADC=∠ACB+∠ACD=106°，
∵∠ABD=∠ADB，∠DBC=41°，∠BDC=33°，
∴∠ADB=（106°-41°-33°）÷2
=32°÷2
=16°
即∠ADB度数为16°．
故选：C．

点评 （1）此题主要考查了线段垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要判断出：∠ABD=∠ADB，∠ABC+∠ADC=∠ACB+∠ACD=106°．
（2）此题还考查了等腰三角形的边角的关系，要熟练掌握．