Question

14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）与一次函数y=ax+b
（a≠0）的图象交于A，B两点，点B为（m，-4），AC⊥y轴于点C，tan∠AOC=$\frac{2}{3}$，△AOC的面积是3，一次函数y=ax+b与x轴，y轴分别交于点D，E．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据△AOC的面积是3得到k=-6，于是得到反比例函数的解析式为y=$\frac{-6}{x}$，把B（m，-4）代入y=$\frac{-6}{x}$得到B（$\frac{3}{2}$，-4），设A（-m，n），根据已知条件得到A（-2，3），把A（-2，3），B（$\frac{3}{2}$，-4）代入y=ax+b得到一次函数的解析式为：y=-2x-1；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵△AOC的面积是3，k=-6，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{-6}{x}$，
∵B为（m，-4）在反比例函数y=$\frac{-6}{x}$的图象上，
-4m=-6，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴B（$\frac{3}{2}$，-4），
设A（-m，n）（m＞0，n＞0），
∵tan∠AOC=$\frac{2}{3}$，△AOC的面积是3，
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{2}{3}$，mn=6，
∴m=2，n=3，
∴A（-2，3），
把A（-2，3），B（$\frac{3}{2}$，-4）代入y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{3=-2a+b}\\{-4=\frac{3}{2}a+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=-2x-1；
（2）令x=0，y=-1，
∴E（0，-1），
∴OE=1，
∴△AOB的面积=S_△AOE+S_△BOE=$\frac{1}{2}×$1×2+$\frac{1}{2}×$1×$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{4}$．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．