Question

【题目】如图1所示，（1）已知D是等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AC，交AB于点E．DF∥AB，交AC于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．（2）如图2所示，已知D是等腰△ABC底边BC延长线上一点，DE∥AC，交BA的延长线于点E．DF∥AB，交AC的延长线于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．

图1 图2

Answer 1

【答案】(1)DE＋DF＝AB（2）若D在BC的延长线上，则(1)中的结论不成立，正确结论是DE－DF＝AB

【解析】

（1）首先根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形判定出四边形AEDF是平行四边形，进而得到DF=AE，然后证明BE=DE，即可得到DE＋DF＝AB；

（2）首先根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形判定出四边形AFDE是平行四边形，进而得到DF＝AE，DE＝AF，又根据△ABC是等腰三角形得∠B＝∠ACB，利用平行线性质得∠FCD＝∠FDC，即可得出DE－DF＝AB．

解：(1)DE＋DF＝AB．

理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB，

所以由平行四边形的定义可得四边形AEDF是平行四边形，

所以DF＝AE．

又因为△ABC是等腰三角形，

所以∠B＝∠C．

因为DE∥AF，

所以∠C＝∠EDB．

所以∠B＝∠EDB．

所以△BDE是等腰三角形，

所以BE＝DE，

所以DE＋DF＝BE＋AE＝AB．

(2)若D在BC的延长线上，则(1)中的结论不成立，正确结论是DE－DF＝AB．

理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB，

所以四边形AFDE是平行四边形．

所以DF＝AE，DE＝AF．

因为△ABC是等腰三角形，

所以∠B＝∠ACB．

又因为∠ACB＝∠FCD，

所以∠B＝∠FCD．

又因为AB∥DF，

所以∠B＝∠FDC．

所以∠FCD＝∠FDC，

所以DF＝FC，

所以DE－DF＝AF－CF＝AC＝AB．