Question

如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）说明线段AB、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）DE与CE有怎样的关系？并说明理由．

Answer 1

解：（1）Rt△ADE≌Rt△BEC；理由如下：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
而∠A=∠B=90°，AE=BC
∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，
DE=CE、AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC；

（2）AB=AD+BC；
理由如下：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴AD=BE，又AE=BC，
∴AB=AE+BE=BC+AD，
即AB=AD+BC；
（3）DE=CE且DE⊥CE，
理由如下：
∵∠1=∠2
∴DE=CE，
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，
又∵∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，
∴2（∠AED+∠BEC）=180°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥CE．
分析：（1）由∠1=∠2，可得DE=CD，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可；
（2）由（1）可得，AD=BE，AE=BC，所以，AB=AE+BE=BC+AD；
（3）由∠1=∠2，可得DE=CD，再根据题意，∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，又∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，所以，∠AED+∠BEC=90°，即可证得∠DEC=90°，即可得出．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．