Question

已知一次函数y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B点，以AB为边在第一象限内作直角△ABC，△ABC∽△OAB．
（1）求点C的坐标；
（2）一个反比例函数的图象经过不同的点C和点P，问：在第一象限内，是否存在点P（记点P的横坐标为m）使得△PAB的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当x=0时，y=2，则点B（0，2）；
当y=0时，解得x=1，则点A（1，0）
∵在直角△ABC中，AO=1，BO=2，∴AB==，
∵△ABC∽△OAB，∴===，
解得AC=2，BC=5，
∵△ABC∽△OAB，∴∠ABC=∠BAO，
∴∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠OBA+∠BAO=90°，
∴点C（5，2）；
（2）存在
∵由（1）可知AB=，AC=2，
∴△ABC的面积=AB•AC=5
设这个反比例函数关系式为．
∵反比例函数的图象经过点C（5，2），∴k=10，
∴y=．
∵点P是反比例函数y=图象上，且在第一象限内的点，
∴可设点P的坐标为（m，），m＞0且m≠5
设直线CP的解析式为y=kx+b，∵C（5，2），P（m，），
∴解得
∴（m＞0且m≠5）．
当x=0时，，当y=0时，x=5+m．
设直线CP与x轴、y轴分别交于D、E点，则OD=5+m，OE=
∵S_△PAB=S_△DOE-S_△PBE-S_△AOB-S_△PAD
=（5+m）-•m•-×1×2-（4+m）•
=m+-1
=5
∴解得m=1或m=5
∵m＞0，且m≠5
∴m=1
∴点P的坐标为（1，10）
分析：（1）先求点B、A的坐标，由勾股定理得，AB=，由△ABC∽△OAB，可得点C（5，2）；
（2）存在，由（1）可知AB=，AC=2，再求出△ABC的面积，设这个反比例函数关系式为．
求得解析式，再直线CP的解析式为y=kx+b，求出解析式，由S_△PAB=S_△DOE-S_△PBE-S_△AOB-S_△PAD，求出m，从而求出点P的坐标为（1，10）．
点评：此题作为压轴题，综合考查函数、方程与勾股定理，三角形相似的判定与性质等知识．
此题是一个大综合题，难度较大，有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质．