Question

如图，B为双曲线y=

k

x

（x＞0）上一点，直线AB平行于y轴交直线y=x于点A，交x轴于点D，y=

k

x

与直线y=x交于点C，若OB²-AB²=4
（1）求k的值；
（2）点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；
（3）双曲线上是否存在点B，使△ABC∽△AOD？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）设D点坐标为（a，0），根据分别直线上点的坐标特征和反比例函数图象上点的坐标特征得到A点坐标为（a，a），B点坐标为（a，

k

a

），则AB=a-

k

a

，BD=

k

a

，在Rt△OBD中，利用勾股定理得OB²=BD²+OD²=（

k

a

）²+a²，由于OB²-AB²=4，所以（

k

a

）²+a²-（a-

k

a

）²=4，然后解方程可得到k=2；
（2）作CM⊥AB于M，解方程组

y=x y= 2 x

可得到C点坐标为（

2

，

2

），由于点B的横坐标为4，所以A点坐标为（4，4），B点坐标为（4，

1

2

），则AB=4-

1

2

=

7

4

，然后根据三角形面积公式计算S_△ABC；
（3）由于△ABC∽△AOD，根据相似的判定得到△ACB为等腰直角三角形，且∠ACB=90°，根据等腰直角三角形斜边上的中线性质得CM=

1

2

AB，
设B点坐标为（a，

2

a

），则A点坐标为（a，a），则AB=|a-

2

a

|，而C点坐标为（

2

，

2

），所以CM=|a-

2

|，于是得到|a-

2

|=

1

2

|a-

2

a

解得a=

2

或a=-

2

3

（舍去），则B点坐标为（

2

，

2

），此时C与B重合，所以不构成三角形，故不存在．

解答：解：（1）设D点坐标为（a，0），
∵AB∥y轴，点A在直线y=x上，B为双曲线y=

k

x

（x＞0）上一点，
∴A点坐标为（a，a），B点坐标为（a，

k

a

），
∴AB=a-

k

a

，BD=

k

a

，
在Rt△OBD中，OB²=BD²+OD²=（

k

a

）²+a²，
∵OB²-AB²=4，
∴（

k

a

）²+a²-（a-

k

a

）²=4，
∴k=2；
（2）作CM⊥AB于M，如图，
解方程组

y=x y= 2 x

得

x= 2 y= 2

或

x=- 2 y=- 2

，
∴C点坐标为（

2

，

2

）
∵点B的横坐标为4，
∴A点坐标为（4，4），B点坐标为（4，

1

2

），
∴AB=4-

1

2

=

7

4

，
∴S_△ABC=

1

2

CM•AB
=

1

2

•（4-

2

）•

7

4

=7-

7 2

4

；
（3）不存在．理由如下：
∵△ABC∽△AOD，
而△OAD为等腰直角三角形，
∴△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴CM=

1

2

AB，
设B点坐标为（a，

2

a

），则A点坐标为（a，a），
∴AB=|a-

2

a

|，
∵C点坐标为（

2

，

2

）
∴CM=|a-

2

|，
∴|a-

2

|=

1

2

|a-

2

a

|，
∴（a-

2

）²=

1

4

•

(a2-2)2

a2

，即（a-

2

）²=

1

4

•

(a+ 2 )2•(a- 2 )2

a2

，
∴（a-

2

）²•[4a²-（a+

2

）²]=0，解得a=

2

或a=-

2

3

（舍去），
∴B点坐标为（

2

，

2

），则此时C与B重合，所以不构成三角形，故不存在．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质；会利用方程组的解确定两函数的角点坐标；会运用勾股定理进行计算．