Question

综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x²+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

Answer 1

解：（1）当y=0时，﹣x²+2x+3=0，解得x₁=﹣1，x₂=3。
∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。
当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。
设直线AC的解析式为y=k₁x+b₁（k₁≠0），则
，解得。
∴直线AC的解析式为y=3x+3。
∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。
（2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，

①当点Q在Q₁位置时，Q₁的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q₁的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q₂位置时，点Q₂的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q₂坐标为（1+，﹣3）；
③当点Q在Q₃位置时，点Q₃的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q₃的坐标为（1﹣，﹣3）。
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q₁（2，3），Q₂（1+，﹣3），Q₃（1﹣，﹣3）。
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。
过点B′作B′E⊥x轴于点E。

∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。
∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴。
由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4。
∴，解得。∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴。
∴。∴B′E=，BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B′点的坐标为（﹣，）。
设直线B′D的解析式为y=k₂x+b₂（k₂≠0），则
，解得。
∴直线B'D的解析式为：。
联立B'D与AC的直线解析式可得：
，解得。
∴M点的坐标为（）。

解析