Question

综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x²+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

Answer 1

解：（1）当y=0时，﹣x²+2x+3=0，
解得x₁=﹣1，x₂=3．∵点A在点B的左侧，
∴A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．
当x=0时，y=3．
∴C点的坐标为（0，3）
设直线AC的解析式为y=k₁x+b₁（k₁≠0），则，
解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3．∴y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2）抛物线上有三个这样的点Q，
①当点Q在Q₁位置时，Q₁的纵坐标为3，
代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q₂位置时，点Q₂的纵坐标为-3，代入抛物线可得点Q₂坐标为（1+，﹣3）；
③当点Q在Q₃位置时，点Q₃的纵坐标为﹣3，
代入抛物线解析式可得，点Q₃的坐标为（1﹣，﹣3）；
综上可得满足题意的点Q有三个，
分别为：Q₁（2，3），Q₂（1+，﹣3），Q₃（1﹣，﹣3）．
（3）点B作BB'⊥AC于点F，使B'F=BF，则B'为点B关于直线AC 的对称点．
连接B'D交直线AC与点M，
则点M为所求，过点B'作B'E⊥x轴于点E．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2，
∴Rt△AOC∽Rt△AFB，
∴，由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）
得OA=1，OB=3，OC=3，
∵AC=，AB=4．∴，∴BF=，∴BB'=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B'EB，
∴，
∴，
即．
∴B'E=，BE=，
∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B'点的坐标为（﹣，）．
设直线B'D的解析式为y=k₂x+b₂（k₂≠0）．
∴，
解得，
∴直线B'D的解析式为：y=x+，
联立B'D与AC的直线解析式可得：，
解得，
∴M点的坐标为（，）．