Question

7．如图，AB=AC=8，∠BAC=90°，直线l与以AB为直径的⊙O相切于点B，点D是直线l上任意一动点，连接DA交⊙O于点E．
（1）当点D在AB上方且BD=6时，求AE的长．
（2）当点D在什么位置时，CE恰好与⊙O相切？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由BD与⊙O相切，AB为⊙O的直径，得到∠ABF=∠AEB=90°根据勾股定理得到AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=10，由射影定理得到AB²=AE•AD，求出AE=$\frac{8×8}{10}=\frac{32}{5}$；
（2）连接OC，根据切线的判定和性质得到OC垂直平分AE．由线段的垂直平分线的性质得到OA=OE，∠EOC=$\frac{1}{2}∠AOE$，根据圆周角定理得到∠ABE=$\frac{1}{2}$∠AOE，通过三角形全等求出BD=OE，所以BD=$\frac{1}{2}$AB=4．

解答 解：（1）∵BD与⊙O相切，AB为⊙O的直径，
∴∠ABF=∠AEB=90°
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=10，
∴AB²=AE•AD，
∴AE=$\frac{8×8}{10}=\frac{32}{5}$；

（2）当BD=4时，CE恰好与⊙O相切，理由如下：
连接OC，
∵⊙O与CE相切，
∴∠OEC=90°，
∵BAC=90°，
∴AC与⊙O相切，
∴AC=CE，∠ACO=∠ECO，
∴OC垂直平分AE．
∵OA=OE，
∴∠EOC=$\frac{1}{2}∠AOE$，
∵∠ABE=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∴∠EOC=∠ABE，
∵∠EDB=∠ABE，
∴∠COE=∠BDE，
在△OCE和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠BDE}\\{∠CEO=∠ABD=90°}\\{CE=AB}\end{array}\right.$
∴△OCE≌△ABD，
∴BD=OE，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=4．

点评 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，正确的画出辅助线是做题的关键．