Question

12．如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于点B，A，与反比例函数y=$\frac{12}{x}$在第一象限内的图象交于点C（m，m+1），D（n，2），过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F．
（1）求m，n的值；
（2）求证：△AEC≌△DFB；
（3）连接CO，DO并延长分别交反比例函数的图象的另一支于点Q，P，判断四边形CQPD是否为矩形，若是，请说明理由；若不是，请在反比例函数图象在第一象限的一支上另找一点C₁，连接C₁O并延长交其图象的另一支于点C₂，使四边形CC₁PC₂为矩形，请直接写出点C₁的坐标．

Answer 1

分析 （1）把C与D坐标分别代入反比例解析式求出m与n的值即可；
（2）由（1）得出C与D坐标，设直线AB解析式为y=kx+b，把C与D坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB解析式，确定出A与B的坐标，根据CE垂直于y轴，DF垂直于x轴，确定出E与F坐标，进而得到AE=DF，CE=BF，且夹角为直角，相等，利用SAS即可得证；
（3）根据矩形的对角线相等且互相平分，得到OC=OD，根据C与D坐标，求出OC与OD的长，得出OC≠OD，判断得出四边形CQPD不是矩形，根据所求四边形DC₁PC₂为矩形，得到OC₁=OD，再由C₁在反比例y=$\frac{12}{x}$第一象限图象上，设出C₁，表示出OC₁，求出a的值，即可确定出C₁的坐标即可．

解答 解：（1）把D（n，2）代入反比例解析式得：2=$\frac{12}{n}$，即n=6；
把C（m，m+1）代入反比例解析式得：m+1=$\frac{12}{m}$，即m²+m-12=0，
解得：m=3或m=-4（舍去），
则m=3，n=6；
（2）由（1）得：C（3，4），D（6，2），
设直线AB解析式为y=kx+b，
把C与D坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{2}{3}$，b=6，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+6；
令y=0，得到x=9；令x=0，得到y=6，
∴A（0，6），B（9，0），
∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，
∴E（0，4），F（6，0），
∴AE=2，CE=3，DF=2，BF=3，
∴AE=DF，∠AEC=∠DFB=90°，CE=BF，
∴△AEC≌△DFB（SAS）；
（3）根据矩形的对角线相等且互相平分，得到OC=OD，
∵C（3，4），D（6，2），
∴OC=5，OD=2$\sqrt{10}$，
∴OC≠OD，
∴四边形CQPD不是矩形，
根据所求四边形DC₁PC₂为矩形，得到OC₁=OD，
∵C₁在反比例y=$\frac{12}{x}$第一象限图象上，
∴设C₁（a，$\frac{12}{a}$），
∴OC₁=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{12}{a}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
整理得：a⁴-40a²+144=0，即（a²-4）（a²-36）=0，
解得：a²=4或a²=36，
解得：a=2或a=6（点D舍去），
则C₁（2，6）．

点评 此题属于反比例综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．