Question

已知关于x的方程：（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，
（1）求k的取值范围；
（2）如果x₁=-2是原方程的一个实数根，求k的值及另一个根x₂；
（3）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为方程（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．得出其判别式△＞0，可解得k的取值范围；
（2）将已知根代入求得k值，然后代入得到方程，然后求解即可；
（3）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k的值．

解答：解：（1）方程（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，
可得k-1≠0，
∴k≠1且△=-12k+13＞0，
可解得k＜

13

12

且k≠1；

（2）∵x₁=-2是原方程的一个实数根，
∴4（k-1）-2（2k-3）+k+1=0
解得：k=-3
∴方程为：-4x²-9x-2=0
解得：x=-2或x=

1

4

，
∴k的值为-3，另一根为

1

4

；

（3）假设存在两根的值互为相反数，设为 x₁，x₂，
∵x₁+x₂=0，
∴-

2k-3

k-1

=0，
∴k=

3

2

，
又∵k＜

13

12

且k≠1，
∴k不存在．

点评：本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．