Question

7．如图，已知直线l₁：y=-2x+8与双曲线C：y=$\frac{6}{x}$（x＞0），相交于点A和B（点A在点B的左上方），直线l₂：y=kx（k＞0）与直线l₁相交于点C，于双曲线C相交于点D．（1）求点A、B的坐标；
（2）当直线l₁⊥l₂时，求点D的坐标；
（3）直接写出下列结论：
（a）当AC=BC时，k的值等于2；
（b）当AC＞BC时，k的取值范围是0＜k＜2；
（c）当AC＜BC时，k的取值范围是k＞2．

Answer 1

分析 （1）将直线l₁：y=-2x+8与双曲线的解析式y=$\frac{6}{x}$（x＞0）联立，组成方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，解方程组即可求出点A、B的坐标；
（2）根据互相垂直的两直线斜率之积为-1，得出k=$\frac{1}{2}$，则直线l₂：y=$\frac{1}{2}$x．把y=$\frac{1}{2}$x代入y=$\frac{6}{x}$，求出x，再求y，即可得出点D的坐标；
（3）（a）当AC=BC时，C是AB中点，根据中点坐标公式得出C（2，4），把C（2，4）代入y=kx，即可求出k的值；
（b）当AC＞BC时，直线l₂的斜率比C是AB中点时的斜率要小，进而求出k的取值范围；
（c）当AC＜BC时，直线l₂的斜率比C是AB中点时的斜率要大，进而求出k的取值范围．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
则点A的坐标是（1，6），点B的坐标是（3，2）；

（2）当直线l₁⊥l₂时，
∵直线l₁：y=-2x+8，直线l₂：y=kx，
∴-2k=-1，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直线l₂：y=$\frac{1}{2}$x．
把y=$\frac{1}{2}$x代入y=$\frac{6}{x}$，得$\frac{1}{2}$x=$\frac{6}{x}$，
整理，得$\frac{1}{2}$x²=6，
解得x=±2$\sqrt{3}$（负值舍去），
∴点D的坐标为（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）；

（3）（a）当AC=BC时，C是AB中点，
∵A（1，6），B（3，2），
∴C（2，4），
把C（2，4）代入y=kx，
得4=2k，解得k=2．
故答案为2；

（b）当AC＞BC时，k的取值范围是0＜k＜2．
故答案为0＜k＜2；

（c）当AC＜BC时，k的取值范围是k＞2．
故答案为k＞2．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了互相垂直的两直线斜率之积为-1，线段的中点坐标公式，待定系数法求函数解析式，以及数形结合思想．