Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长；
（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为______．

Answer 1

（1）证明：如图，∵∠CBF=∠CFB，
∴CB=CF．
又∵AC=CF，
∴CB=AF，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠ABF=90°，即AB⊥BF．
又∵AB是直径，
∴直线BF是⊙O的切线．

（2）解：如图，连接DO，EO，
∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，
∴∠AOD=60°．
又∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=OD=5，∠OAD=60°，
∴AB=10．
∴在Rt△ABF中，∠ABF=90°，BF=AB•tan60°=10，即BF=10；

（3）如图，连接OC．则OC是Rt△ABF的中位线，
∵由（2）知，BF=10，
∴圆心距OC=，
∵⊙O半径OA=5．
∴＜r＜．
故填：＜r＜．
分析：（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF；
（2）根据圆心角、弧、弦间的关系，等边三角形的判定证得△AOD是等边三角形，所以在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠OAD=60°，AB=10，则利于∠A的正切三角函数的定义来求BF边的长度；
（3）根据已知条件知⊙O与⊙C相交．
点评：本题综合考查了圆心角、弧、弦间的关系，切线的判定与性质，相交两圆的性质，直角三角形的判定与性质以及特殊角的三角函数值等知识点．切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．