Question

如图，抛物线y₁=a（x+2）²+c与y₂=（x-3）²+b交于点A（1，3），且抛物线y₁经过原点．过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则下列结论中，正确的是

1. A.
   c=4a
2. B.
   a=1
3. C.
   当x=0时，y₂-y₁=4
4. D.
   2AB=3AC

Answer 1

D
分析：把点A坐标与原点坐标代入y₁，求出a、c的值，即可得到函数解析式，把点A坐标代入y₂，求出b的值，即可得到函数解析式，判定A、B错误；令x=0，求出y₂与y轴的交点，判定C错误；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出AB、AC的长，判定D正确．
解答：∵y₁=a（x+2）²+c经过点A（1，3）与原点，
∴，
解得，
∴c=-4a，故A、B选项错误；
y₁=（x+2）²-，
∵y₂=（x-3）²+b经过点A（1，3），
∴（1-3）²+b=3，
解得b=1，
∴y₂=（x-3）²+1，
当x=0时，y=（0-3）²+1=5.5，
此时y₂-y₁=5.5，故C选项错误；
∵过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，
∴令y=3，则（x+2）²-=3，
整理得，（x+2）²=9，
解得x₁=-5，x₂=1，
∴AB=1-（-5）=6，
（x-3）²+1=3，
整理得，（x-3）²=4，
解得x₁=5，x₂=1，
∴AC=5-1=4，
∴2AB=3AC，故D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．