Question

18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点G是EC的中点，连接DG交BE于点O，若△ADE的面积为S，求四边形BDGC的面积．

Answer 1

分析 由中位线定理得出DE∥BC且$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，从而证△ADE∽△ABC得$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，即可知S_△ABC=4S，继而得S_{四边形BDCE}=S_△ABC-S_△ADE=3S，DF⊥AE于点F，由中点定义得出EG=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$AE，继而由$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△DEA}}$=$\frac{\frac{1}{2}EG•DF}{\frac{1}{2}AE•DF}$=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{1}{2}$得S_△DEG=$\frac{1}{2}$S，最后由S_{四边形BDGC}=S_{四边形BDCE}-S_△DEG得出答案．

解答 解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，且$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵S_△ADE=S，
∴S_△ABC=4S，
则S_{四边形BDCE}=S_△ABC-S_△ADE=3S，
如图，过点D作DF⊥AE于点F，

∵点G是EC的中点，且AE=EC，
∴EG=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$AE，
则$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△DEA}}$=$\frac{\frac{1}{2}EG•DF}{\frac{1}{2}AE•DF}$=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△DEG=$\frac{1}{2}$S，
∴S_{四边形BDGC}=S_{四边形BDCE}-S_△DEG=3S-$\frac{1}{2}$S=$\frac{5}{2}$S．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质、中位线定理、三角形的面积及割补法求不规则图形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质及共高的两三角形的面积比等于底边的比是解题的关键．