Question

10．已知△ABC中，AB=8，BC=6，以AB为直径的⊙O与AC交于D点，连接BD，且BD=$\frac{24}{5}$．连接OC．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）求sin∠ACO．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，得到BD⊥AC，根据勾股定理得到AC=CD+AD=10，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC=90°，于是得到结论；
（2）过O作OE⊥AD，根据三角形的中位线的性质得到OE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{12}{5}$，根据勾股定理得到OC=$\sqrt{B{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AC，
∵AB=8，BC=6，BD=$\frac{24}{5}$．
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{17}{5}$，AD=$\frac{33}{5}$，
∴AC=CD+AD=10，
∵AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴BC与⊙O相切；
（2）过O作OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵AO=OB，
∴OE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{12}{5}$，
∵OC=$\sqrt{B{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴sin∠ACO=$\frac{OE}{OC}$=$\frac{\frac{12}{5}}{2\sqrt{13}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{65}$．

点评 本题考查了切线的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．