Question

1．如图，AB为⊙O的直径，AC，AD为⊙O的弦，$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，过C作⊙O的切线交AB的延长线于E，DB的延长线交CE于F，若⊙O的半径为3，∠E=45°，则CF的长为6-3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接半径OC，由切线性质得：∠OCE=90°，则△OCE是等腰直角三角形，由勾股定理计算OE的长，证明
∠EBF=∠EFB，则BE=EF=3$\sqrt{2}$-3，从而得出CF的长．

解答 解：连接OC、BC，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BAC=∠DAB，
∵EC是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵∠E=45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴OC=CE=3，∠COE=45°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO=22.5°，
∴∠DAB=22.5°，
即∠DAC=22.5°+22.5°=45°，
∵A、D、B、C四点共圆，
∴∠CBF=∠DAC=45°，
∵∠BCF=∠ACO=22.5°，
∴∠BFE=22.5°+45°=67.5°，
△BFE中，∠FBE=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠EBF=∠EFB，
∴BE=EF，
Rt△OCE中，OE=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴BE=AO+OE-AB=3+3$\sqrt{2}$-6=3$\sqrt{2}$-3，
∴EF=BE=3$\sqrt{2}$-3，
∴CF=CE-EF=3-（3$\sqrt{2}$-3）=6-3$\sqrt{2}$，
故答案为：6-3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质、四点共圆的性质、等腰直角三角形、等腰三角形的性质和判定、勾股定理，利用角的大小关系得出线段的关系，并根据勾股定理列等式计算边的长，从而使问题得以解决．