如图.在直角坐标系中.一次函数y=$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$的图象与x轴.y轴分别交于A.B.平行四边形ABCD中.D(6.0).函数y=$\frac{3}{4}$x+m图象过点E(4.0).与y轴交于G.动点P从O点沿y轴正方向以每秒2个单位的速度出发.同时.以P为圆心的圆.半径从6个单位起以每秒1个单位的速度缩小.设运动时间为t．(1)若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．如图，在直角坐标系中，一次函数y=$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$的图象与x轴、y轴分别交于A、B，平行四边形ABCD中，D（6，0），函数y=$\frac{3}{4}$x+m图象过点E（4，0），与y轴交于G，动点P从O点沿y轴正方向以每秒2个单位的速度出发，同时，以P为圆心的圆，半径从6个单位起以每秒1个单位的速度缩小，设运动时间为t．
（1）若⊙P与直线EG相切，求⊙P的面积；
（2）以CD为边作等边三角形CDQ，若⊙P内存在Q点，求t的取值范围．

分析（1）欲求⊙P的面积，只需求得该圆的半径即可．⊙P与直线EG相切，作PH⊥EG于H，则PH=6-t，P（0，2t），由相似三角形Rt△PHG∽Rt△EOG的对应边成比例得到$\frac{6-t}{4}$=$\frac{2t+3}{5}$，由此求得t的值，进而得到该圆的半径，利用圆的面积公式解答即可；
（2）由y=$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$可以求得A（-3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），结合平行四边形的性质得到C（9，3$\sqrt{3}$），根据特殊角的三角函数值推知∠A=60°．利用等边三角形的性质易得：Q₁（3，3$\sqrt{3}$），Q₂（12，0），显然Q₂（12，0）不可能在⊙P内，若Q₁（3，3$\sqrt{3}$）在⊙P内，则可得：PQ₁＜r（半径），由此求得t的取值范围．

解答解：（1）函数y=$\frac{3}{4}$x+m图象过点E（4，0），
∴m=-3，G（0，-3），
⊙P与直线EG相切，作PH⊥EG于H，如图1，
则PH=6-t，P（0，2t），
由Rt△PHG∽Rt△EOG可得：$\frac{PH}{OE}$=$\frac{PG}{GE}$，即$\frac{6-t}{4}$=$\frac{2t+3}{5}$，
解得t=$\frac{18}{13}$，
所以⊙P半径为6-$\frac{18}{13}$=$\frac{60}{13}$，
⊙P面积为：π•（$\frac{60}{13}$）²=$\frac{3600}{169}$π；

（2）如图2，由y=$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$图象与x轴、y轴分别交于A、B，
∴A（-3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），C（9，3$\sqrt{3}$），
∵tanA=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠A=60°．
以CD为边作等边三角形CDQ，∠D=∠A=60°，CD=AB=6，
∴Q₁（3，3$\sqrt{3}$），Q₂（12，0），
显然Q₂（12，0）不可能在⊙P内，
若Q₁（3，3$\sqrt{3}$）在⊙P内，则可得：PQ₁＜r（半径），
∵P（0，2t），r=6-t，
即：9+（2t-3$\sqrt{3}$）²＜（6-t）²，t²-（4$\sqrt{3}$-4）t＜0，
∵t＞0，
∴t-（4$\sqrt{3}$-4）＜0
即t＜4（$\sqrt{3}$-1），
∴t的取值范围为0＜t＜4（$\sqrt{3}$-1）．

点评本题考查了一次函数综合题，综合运用了待定系数法求一次函数解析式，圆的切线的性质，点与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，不等式的解法等知识点，难度较大．

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