Question

16．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，连接OC交⊙O于E，AE交BC于点F，过O作OD∥AF交BC于D，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠DOE=∠DOB，由SAS证明△OED≌△OBD，得出∠OED=∠OBD=90°，即可得出结论；
（2）由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$OB，由切线长定理得出BD=ED=a，证明△CED∽△CBO，得出$\frac{ED}{DC}=\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，设ED=a，则DC=$\sqrt{5}$a，得出BC=BD+DC=ED+DC，得出方程a+$\sqrt{5}$a=2，解方程求出a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，由三角形中位线定理得出BF=2a=$\sqrt{5}$-1，即可求出CF的长．

解答 （1）证明：∵OD∥AF，
∴∠DOE=∠OEA，∠DOB=∠OAE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠DOE=∠DOB，
在△OED和△OBD中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OB}&{\;}\\{∠DOE=∠DOB}&{\;}\\{OD=OD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OBD（SAS），
∴∠OED=∠OBD=90°，
∴DE⊥OE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：设ED=a，
∵等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，OA=OB，
∴OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$OB，
∵∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，
∴BD=ED=a，
∵∠ECD=∠OCB，∠CED=∠B=90°，
∴△CED∽△CBO，
∴$\frac{ED}{DC}=\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴DC=$\sqrt{5}$a，
∵BC=BD+DC=ED+DC，
∴a+$\sqrt{5}$a=2，
解得：a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∵OD∥AF，OA=OB，
∴DF=BD，
∴OD是△ABF的中位线，
∴BF=2a=$\sqrt{5}$-1，
∴CF=2-（$\sqrt{5}-1$）=3-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，有一定难度．