Question

4．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线y=-$\frac{3}{4}$x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=-$\frac{3}{4}$x+3时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP=3，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：如图，作AP⊥直线y=-$\frac{3}{4}$x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小∵A的坐标为（-1，0），
设直线与x轴，y轴分别交于B，C，
∴B（0，3），C（4，0），
∴OB=3，AC=5，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴AC=BC，
在△APC与△BOC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APC=∠OBC=90°}\\{∠ACB=∠BCO}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△OBC，
∴AP=OB=3，
∴PQ=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．