Question

2．在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD，
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于O点，在CE上截取CF=CD，连接OF，求线段FC的长及四边形AOFE的面积．
（3）在第（2）问条件下，P是DA上动点，当PC+PO最小时，求DP的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可；
（2）分别求出AE、OH、CE、CF的长，再求出三角形AEC和三角形COF的面积，即可求出答案；
（3）利用轴对称的性质确定点P的位置．结合等边三角形的重心的性质来求线段DP的长度．

解答 （1）证明：∵CE∥AD且CE=AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质），
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；

（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为4，
∴AC=4，∠DAC=30°，
∴∠ACE=30°，AE=2，CE=2$\sqrt{3}$，
∵四边形ADCE为矩形，
∴OC=OA=2，
∵CF=CO，
∴CF=2，
过O作OH⊥CE于H，
∴OH=$\frac{1}{2}$OC=1，
∴S_{四边形AOFE}=S_△AEC-S_△COF=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×1=2$\sqrt{3}$-1．

（3）如图，由（2）知，△ABC是等边三角形，且四边形ADCE为矩形，则易得点O关于直线AD对称的点O′是AB的中点，
连接O′C，O′C与AD的交点即为所求的点P．
∵点D是BC的中点，点O′是AB的中点，
∴线段AD和线段O′C都是等边△ABC的中线，
∴点P是△ABC的重心，
∴DP=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{3}$×4×cos30°=$\frac{1}{3}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中．