Question

11．已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是直线AC上一点，连接BD，作AE⊥BD，垂足为E，连接EC，BE=4，AE=2，求CE的长．

Answer 1

分析 分三种情况：①在AE上截取AF=EB，连接CF，如图1，利用等角的余角相等得到∠DAE=∠DBC，则可根据“SAS”判断△EBC≌△FAC，得到EC=FC，∠BCE=∠ACF，再证明∠ECF=90°，于是可判断△CEF为等腰直角三角形，得到EF=$\sqrt{2}$CE，所以EA-EB=EA-AF=EF=$\sqrt{2}$EC，由于BE=4＞AE=2，故这种情况不存在；
②当D在AC上时，在BE上截取BF=EA，连接CF，同样方法可得△FBC≌△EA得到FC=EC，∠BCF=∠ACE，再证明△CEF为等腰直角三角形，则EF=$\sqrt{2}$CE，所以EB-EA=EB-BF=EF=$\sqrt{2}$EC；于是求得结论；③当D在CA延长线上时，在BE的反向延长线上截取BF=EA，连接CF，同样方法可得△FBC≌△EAC得到FC=EC，同样可得EF=$\sqrt{2}$CE，则EA+EA=FB+EB=EF=$\sqrt{2}$EC，于是得到结论．

解答 解：当点D在AC的延长线上时，在AE上截取AF=EB，连接CF，如图1，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠ACB=90°，
又∵∠DAE+∠ADE=90°，∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠DAE=∠DBC，
在△EBC和△FAC中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=AF}\\{∠EBC=∠FAC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△FAC（SAS），
∴EC=FC，∠BCE=∠ACF，
∴∠ECF=∠BCE+∠GCF=∠ACF+∠GCF=∠ACB=90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$CE，
∴EA-EB=EA-AF=EF=$\sqrt{2}$EC，
即EA-EB=$\sqrt{2}$EC，
∵BE＞AE，
∴这种情况不存在，
当D在AC上时，如图2，在BE上截取BF=EA，连接CF，
同样方法可得△FBC≌△EAC（SAS），则FC=EC，∠BCF=∠ACE，
∴∠ECF=∠ACB=90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$CE，
∴EB-EA=EB-BF=EF=$\sqrt{2}$EC，
即EB-EA=$\sqrt{2}$EC；
∴CE=$\sqrt{2}$；
当D在CA延长线上时，如图3，在BE的反向延长线上截取BF=EA，连接CF，
同样方法可得△FBC≌△EAC（SAS），则FC=EC，∠BCF=∠ACE，
∴∠ECF=∠ACB=90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$CE，
∴EA+EA=FB+EB=EF=$\sqrt{2}$EC，
即EA+EB=$\sqrt{2}$EC，
∴CE=3$\sqrt{2}$．
综上所述：CE=$\sqrt{2}$，或CE=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．