Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm，线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时停止运动，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）
（1）用含t的代数式表示线段EF的长度；
（2）在运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由BD=tcm，DE=4cm，可得BE=BD+DE=（t+4）cm，又由EF∥AC，即可得△BEF∽△BAC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；
（2）运动过程中使△DEF为等腰三角形，则要考虑哪两边为腰，故要考虑三种情况，当DF=EF时，当DE=EF时，当DE=EF时．分别讨论易根据三角形相似、边成比例及（1）中EF的值得到关于t的方程，解得即可．

解答 解：（1）∵BD=tcm，DE=4cm，
∴BE=BD+DE=（t+4）cm，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴EF：CA=BE：BC，
即EF：10=（t+4）：16，
解得：EF=$\frac{5}{8}$（t+4）（cm）；

（2）分三种情况讨论：
①如图1，∵当DF=EF时，
∴∠EDF=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AC，
∴∠DEF=∠C，
∴∠EDF=∠B，
∴点B与点D重合，
∴t=0；
②如图2，当DE=EF时，
则4=$\frac{5}{8}$（t+4），
解得：t=$\frac{12}{5}$；
③如图3，∵当DE=DF时，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ABC．
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$，
即$\frac{4}{10}$=$\frac{\frac{5}{8}（t+4）}{16}$，
解得：t=$\frac{156}{25}$；
综上所述，当t=0、$\frac{12}{5}$或$\frac{156}{25}$秒时，△DEF为等腰三角形．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、平行四边形的性质以及矩形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．