Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+c与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C（0，2

3

），线段AC上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，线段AB上有另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，两动点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出对应的t的值；如果不存在，请说明理由．
（3）在y轴上有两点M（0，m）和N（0，m+1），若要使得AM+MN+NP的和最小，请直接写出相应的m、t的值以及AM+MN+NP的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用等定系数法求出抛物线的解析式即可，
（2）先求出AO，OC和AC，分两种情况①若∠APQ=90° 则cos∠CAO=cos∠PAQ，②若∠AQP=90°，则cos∠CAO=cos∠PAO，求解．
（3）先证出当AF是BC边上的高时，M是AF和y轴的交点AM+NP+MN有最小值，再利用∠DAB=30°求出m的值，利用RT△CPN求出CP，再求出t，最后得出AM+MN+NP的最小值．

解答：解：（1）把A（-2，0）和C（0，2

3

）代入y=ax²+c得

0=4a+c c=2 3

，
解得

a=- 3 2 c=2 3

．
∴抛物线的解析式为：y=-

3

2

x²+2

3

，
（2）在y=-

3

2

x²+2

3

中，
令y=0．则-

3

2

x²+2

3

=0，
解得，x₁=-2，x₂=2，
∴AB=4，
∵AP=t，AQ=4-2t，
在RT△AOC中，AO=2，OC=2

3

，
∴AC=

AO2+OC2

=

22+(2 3 )2

=4，
∴cos∠CAO=

AO

AC

=

1

2

，
①若∠APQ=90° 则cos∠CAO=cos∠PAQ，
∴

1

2

=

AP

AQ

，
∴

1

2

=

t

4-2t

，
解得t=1，
②若∠AQP=90°，则cos∠CAO=cos∠PAO，
∴

1

2

=

AQ

AP

，
∴

1

2

=

4-2t

t

，
解得t=

8

5

，
∴当t=1或t=

8

5

时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOC相似．
（3）如图1，作PN⊥AC，P′N⊥BC，垂足分别为P，P′，

∵抛物线的对称轴是y轴，
∴CO是∠ACB的角平分线，
∴NP=NP′，
作MF⊥BC．P′H∥MN，
∴四边形MHP′N是平行四边形，
∴MH=NP′=NP，P′H=MN，
由（1）可知，∠CAO=60°，
∴∠OCB=∠OCA=30°，
∴∠CMF=60°，
∴∠P′HF=60°，
∴HF=

1

2

P′H=

1

2

MN=

1

2

，
∴AM+NP=AM+MH＞AF-

1

2

，
∴当AF是BC边上的高时，M是AF和y轴的交点，AM+NP有最小值，即AM+NP+MN有最小值，
如图2，作AD⊥BC于点D，

∵△ABC是正三角形，
∴∠DAB=30°，AO=2，
∴OM=

2 3

3

，
∴m=

2 3

3

，
∴CN=OC-ON=2

3

-

2 3

3

-1=

4 3

3

-1
在RT△CPN中∠NCP=30°，
∴PC=2-

3

2

，PN=

1

2

（

4 3

3

-1）=

2 3

3

-

1

2

∴AP=4-（2-

3

2

）=2+

3

2

∴t=2+

3

2

，
∴AM+MN+NP的最小值=

4 3

3

+1+

2 3

3

-

1

2

=2

3

+

1

2

．

点评：本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是根据图形证出M在什么位置时AM+NP+MN有最小值．