如图.等边三角形ABO放在平面直角坐标系中.其中点O为坐标原点.点B的坐标为.点A位于第二象限．已知点P.点Q同时从坐标原点出发.点P以每秒4个单位长度的速度沿O→B→A→O→B来回运动一次.点Q以每秒1个单位长度的速度从O往A运动.当点Q到达点A时.P.Q两点都停止运动．在点P.点Q的运动过程中.存在某个时刻.使得P.Q两点与点O或点A构成的三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，等边三角形ABO放在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点B的坐标为（-8，0），点A位于第二象限．已知点P、点Q同时从坐标原点出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿O→B→A→O→B来回运动一次，点Q以每秒1个单位长度的速度从O往A运动，当点Q到达点A时，P、Q两点都停止运动．在点P、点Q的运动过程中，存在某个时刻，使得P、Q两点与点O或点A构成的三角形为直角三角形，那么点P的坐标为

．

考点：等边三角形的性质,坐标与图形性质,勾股定理

专题：

分析：当P、Q两点与点O或点A构成的三角形为直角三角形时，分两种情况进行讨论：（1）△OPQ为直角三角形，由于∠POQ≤60°≠90°，那么可能①∠OQP=90°；②∠OPQ=90°；（2）如果△APQ为直角三角形，那么点P不能在OB上，也不能在OA上，则只能在AB上，此时∠PAQ=60°≠90°，那么可能①∠APQ=90°；②∠AQP=90°．

解答：解：在点P、点Q的运动过程中，存在时刻t=

，使得P、Q两点与点A构成的三角形为直角三角形，理由如下：
（1）如果△OPQ为直角三角形，那么∠POQ≤60°≠90°，那么可能∠OQP=90°或者∠OPQ=90°．

①当∠OQP=90°时，点P不能在OB上（因为此时OP=2OQ与OP=4OQ矛盾），也不能在OA上，则只能在AB上，如图1，过点P作PM⊥OB于M．
∵OB+BP=4t，∴BP=4t-8，
∴BM=

BP=2t-4，PM=

BM=2

t-4

，OM=OB-BM=12-2t．
∵OQ=t，∴AQ=OA-OQ=8-t，
∴PQ=

AQ=8

t．
在△OQP中，∵∠OQP=90°，∴OQ²+PQ²=OP²，
∴t²+（8

t）²=（2

t-4

）²+（12-2t）²，
整理，得12t²-48t=0，解得t=4或0，
当t=4时，点P运动到A点，不合题意，t=0也不合题意；

②当∠OPQ=90°时，OQ＞OP，点P不能在OB上，因为点Q始终在OA上运动，所以点P只能在OB上，而点P以每秒4个单位长度的速度运动，点Q以每秒1个单位长度的速度运动，所以OQ＜OP，与OQ＞OP矛盾；也不能在OA上；则可能在AB上，如图2．
∵OQ＞OP＞0，∴OQ²＞OP²，
∴t²＞8²+（4t-8）²-2×8×（4t-8）×

，
整理，得15t²-96t+192＜0，
∵△=（-96）²-4×15×192=-2304＜0，
∴此时t无解，点P不能在AB上；
即∠OPQ=90°不可能；
（2）如果△APQ为直角三角形，那么点P不能在OB上，也不能在OA上，则只能在AB上，此时∠PAQ=60°≠90°，那么可能∠APQ=90°或者∠AQP=90°．
①当∠APQ=90°时，如图3．
在△APQ中，∵∠APQ=90°，∠A=60°，

∴AP=

AQ，即16-4t=

（8-t），
解得t=

．
过点P作PM⊥OB于M，由上可知
OM=12-2t=12-2×

，PM=2

t-4

-4

，
∴点P的坐标为（-

，

）；
②当∠AQP=90°时，如图1．
在△APQ中，∵∠AQP=90°，∠A=60°，
∴AQ=

AP，即8-t=

（16-4t），
解得t=0（不合题意舍去）．
综上可知，点P的坐标为（-

，

）．
故答案为（-

，

）．

点评：本题结合动点问题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形等知识，有一定难度．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．

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