Question

在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax²+4ax+c（a≠0）经过A（0，4），B（-3，1），顶点为G．
（1）求该抛物线的表达方式及点C的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线沿y轴向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线与y轴的交点记为点D．当△ACD时等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）若点P在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO，将线段PO绕点P逆时针转90°得到线段PO′，若点O′恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）将A，B坐标分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y=x²+4x+4=（x+2）²，
∴顶点C坐标为（-2，0）；
（2）由题意得：D（0，m+4），
在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，
根据勾股定理得：AC==2，
由图形得到∠DAC为钝角，要使△ACD为等腰三角形，只有DA=DC=2，
∴DA=m=2，
则D坐标为（0，2+4）；
（3）设P（-2，n），如图所示，过O′作O′M⊥x轴，交x轴于点M，过P作PN⊥O′M，垂足为N，
易得PO=PO′，∠PCO=∠PNO′=90°，∠CPO=∠NPO′，
∴△PCO≌△PNO′（AAS），
∴O′N=OC=2，PN=PC=|n|，
∵四边形PCMN为矩形，
∴MN=PC=|n|，
①当n＞0时，O′（n-2，n+2），代入抛物线解析式得：n²-n-2=0，
解得：n=2或n=-1（舍去）；
②当n＜0时，O′（n-2，n+2），代入抛物线解析式得：n²-n-2=0，
解得：n=2（舍去）或n=-1，
综上①②得到n=2或-1，
则P的坐标为（-2，2），（-2，-1）．
分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式中求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式，配方后即可求出顶点C的坐标；
（2）由平移规律即C的坐标表示出D的坐标，在直角三角形AOC中，由OA与OC的长，利用勾股定理求出AC的长，由图形得到∠DAC为钝角，三角形ACD为等腰三角形，只有DA=AC，求出DA的长，即为m的值，即可确定出D的坐标；
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（-2，n），如图所示，过O′作O′M⊥x轴，交x轴于点M，过P作PN⊥O′M，垂足为N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△PCO≌△PNO′，由全等三角形的对应边相等得到O′N=OC=2，PN=PC=|n|，再由PCMN为矩形得到MN=PC=|n|，分n大于0与小于0两种情况表示出O′坐标，将O′坐标代入抛物线解析式中求出相应n的值，即可确定出P的坐标．
点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，平移及旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及坐标与图形性质，利用了数形结合及方程的思想，是一道中档题．