Question

15．在锐角△ABC中，AB=5，BC=6，∠ACB=45°（如图），将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△A′BC′（顶点A、C分别与A′、C′对应），当点C′在线段CA的延长线上时，则AC′的长度为（　　）

• A． $\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$
• B． 3$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$
• C． 3$\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$
• D． 3-$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 根据题意得出CC′的长，进而在△ABD中，AD²+BD²=AB²，求出CD的长，再利用锐角三角函数关系得出AC的长，进而得出答案．

解答 解：如图：
由旋转的性质可得：∠A′C′B=∠ACB=45°，BC=BC′，
∴∠BC′C=∠ACB=45°，
∴∠CBC′=180°-∠BC′C-∠ACB=90°，
∵BC=6，
∴CC′=$\sqrt{2}$BC=6$\sqrt{2}$，
过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠ACB=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
设AD=x，则CD=x，
∴BD=BC-CD=6-x，
在△ABD中，AD²+BD²=AB²，
∴x²+（6-x）²=5²，
解得：x₁=$\frac{6+\sqrt{14}}{2}$，x₂=$\frac{6-\sqrt{14}}{2}$（不合题意舍去），
∴AC=$\frac{6+\sqrt{14}}{2}$×$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}+\sqrt{7}$，
∴AC′的长度为：6$\sqrt{2}-（3\sqrt{2}+\sqrt{7}）=3\sqrt{2}-\sqrt{7}$．
故选B．

点评 此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理和等腰直角三角形的性质等知识，根据已得出CC′和AC的长是解题关键．