Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经y=ax²+bx-3过三点A、B、C，已知A（-3、0），C（1、0）．
（1）求此抛物线的解析式及直线AB的解析式．
（2）点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好搭在抛物线对称轴上时，求此时对应的P点的坐标．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）直接用待定系数法求解即可；
（2）①先证△PDE是等腰直角三角形，从而将DE、PD都用PE来表示，问题就转化为求PE的最值，而PE可以用E点与P点的纵坐标之差来表示，设出P点的横坐标，PE就表示成了P点横纵标的二次函数，配方求出最值即可；
②题目已明确说明了有两种情况，即M点、N点分别在对称轴上时．同样设出P点的横坐标，根据这两种情况，作出图形，找到线段之间的等量关系，建立关于P点横坐标的方程，解之即可．

解答 解：（1）将A（-3、0）、C（1、0）代入y=ax²+bx-3得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b-3=0}\\{a+b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-3，
设直线AB的解析式为y=kx+h，
将A（-3，0）、B（0，-3）代入y=kx+h得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+h=0}\\{h=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{h=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-x-3；
（2）①如图1，

∵OA=OB=3，
∴△AOB是等级腰直角三角形，
∵PF⊥AO，PD⊥AB，
∴△AFE、△PDE均为等腰直角三角形，
∴PD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE，
则△PDE的周长为PE+PD+DE=$（\sqrt{2}+1）PE$，
设P（m，m²+2m-3），则E（m，-m-3），
∴PE=-m-3-m²-2m+3=-m²-3m=$-（m+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，即P点坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）时PE最大，即△PDE的周长最大；
②当M点在抛物线对称轴上时，如图2，

过点P作PH垂直对称轴于点H，作AG垂直HP于点G，
∵APMN是正方形，
∴AP=MP，∠APM=90°，
∴∠APG+∠MPH=90°，
∵∠APG+∠GAP=90°，
∴∠GAP=∠HPM，
在△APG与△PMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAP=∠MPH}\\{∠AGP=∠PHM}\\{AP=PM}\end{array}\right.$，
∴△APG≌△PMH（AAS），
∴AG=PH，PG=MH，
∴GH=PG+PH，
∵P（m，m²+2m-3），
∴m+3+（-m²-2m+3）=2，
解得：m=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$或m=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$（舍去）
∴P（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）；
当N点在抛物线对称轴上时，如图3，

作PR垂直x轴于点R，设对称轴与x轴的交点为L，
∵ARMN是正方形，
∴AP=AN，∠PAR+∠RAN=90°，
∵∠PAR+∠APR=90°，
∴∠APR=∠RAN，
在△APR与△NAL中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=NA}\\{∠APR=∠NAL}\\{∠ARP=∠NLA}\end{array}\right.$，
∴△APR≌△NAL（AAS），
∴PR=AL=2，
∴-m²-2m+3=2，
解得：m=$-1-\sqrt{2}$或m=$-1+\sqrt{2}$（舍去），
∴P（$-1-\sqrt{2}$，-2）；
综上所述，满足要求的P点坐标为（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）、（$-1-\sqrt{2}$，-2）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式、配方法求二次函数最值、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识点，有一定综合性，难度适中．第（2）问的关键是将△PDE的两边DE、PD都用PE来表示；第（3）问的两种情况当中，根据图形，构造全等三角形是关键．