Question

已知二次函数y=-x²+2bx的图象经过原点及x轴上正半轴另一点A，设此二次函数图象的顶点为B．
（1）若△OAB是等腰直角三角形，求b的值；
（2）利用二次函数y=-x²+2bx的图象，试求不等式-x²+2bx+3＞0的解集．

Answer 1

考点：二次函数与不等式（组）,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得出B点坐标，结合对称轴位置得出b的值；
（2）利用抛物线图象得出不等式的解集．

解答：解：（1）∵△OAB是等腰直角三角形，
∴设B点横坐标为：a，则OA=2a，
故B点纵坐标为；（a，a），
则a=-a²+2ba，-

2b

2×(-1)

=a，则a=b，
故整理得：a²-a=0，
解得：a₁=0（不合题意舍去），a₂=1，
故b=1；

（2）由（1）得：y=-x²+2x，
则y=-x²+2x+3是y=-x²+2x向上平移3个单位得到的，
故y=0时，0=-x²+2x+3
解得：x₁=-1，x₂=3，
如图所示：不等式-x²+2bx+3＞0的解集为：-1＜x＜3．

点评：此题主要考查了二次函数与不等式，画出二次函数图象是解题关键．