Question

如图①，A（4，0），C（0，n）分别是x和y轴上的点，n＞0，以OA，OC为边在第一象限内作矩形OABC，对角线OB，AC，交于点D双曲线y=

k

x

（x＞0，k＞0）交边BC于G，交边AB于H．
（1）设直线AC的函数关系式为y=qx+p，请用含n的代数式表示q和p．
（2）求证：

BG

BC

=

BH

BA

；
（3）如图②，若上述双曲线经过点D，判断点D是否是双曲线与直线AC唯一的交点，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设y=qx+p，将点A（4，0）和点C（0，n）代入即可用含n的代数式表示q和p；
（2）根据点G和点H均在y=

k

x

上，设H（4，

k

4

），G（

k

n

，n）从而得到BG=4-

k

n

=

4n-k

n

，BH=n-

k

4

=

4n-k

4

，利用

BG

BH

=

4

n

=

BC

AB

，即可证得

BG

BC

=

BH

BA

；
（3）设D点的坐标为：（2，

n

2

），然后得到y=

n

x

，联立组成方程组即可得整理得到方程-x²+4x=4，根据方程有两个相等的实数根判断点D是双曲线与直线AC唯一的交点．

解答：解：（1）设y=qx+p
由A（4，0）得0=4q+p，
由C（0，n）得n=p，
∴q=-

n

4

，p=n； 
（2）∵点G和点H均在y=

k

x

上，
∴设H（4，

k

4

），G（

k

n

，n）
所以BG=4-

k

n

=

4n-k

n

，BH=n-

k

4

=

4n-k

4

，
∴

BG

BH

=

4

n

=

BC

AB

，
即

BG

BC

=

BH

BA

；

（3）设D点的坐标为：（2，

n

2

），
当x=2，y=

n

2

时，

n

2

=

k

2

，k=n，
∴y=

n

x

，
由

y=- n 4 x+n y= n x

得-

n

4

x+n=

n

x

即-nx²+4nx=4n，
-x²+4x=4，
解得：x₁=x₂=2，
∴点D是双曲线与直线AC唯一的交点．

点评：本题考查了反比例函数的综合知识，解题的关键是用未知数将点的坐标表示出来，难度中等偏上．