Question

如图：已知E、F分别是正方形的边AB、AD中点，DE，CF相交于P，DE的延长线交CB的延长线于G，若正方形的边长为6cm，求PB的长．

Answer 1

解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90°，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴AE=BE=DF，
∵在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE=∠DCF，
∵∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，
∴∠DCF+∠CDE=90°，
∴∠CPD=180°-90°=90°，
∴∠CPG=90°，
∵G在CB的延长线上，
∴∠EBG=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
∴∠A=∠EBG，
∵在△ADE和△BGE中，
，
∴△ADE≌△BGE（ASA），
∴AD=BG，
∴PB是△PCG的中线，
∵正方形的边长为6cm，
∴CG=6+6=12cm，
∴PB=CG=×12=6cm．
分析：根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90°，再根据中点定义求出AE=DF，然后利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADE=∠DCF，然后求出∠CDP=90°，再利用“角边角”证明△ADE和△BGE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BG，从而求出PB是△PCG的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握各性质并求出三角形全都是解题的关键，难点在于要二次证明三角形全等．