Question

探究题：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，试问：
（1）DF与BC有何位置关系？请说明理由．
（2）FG与FE有何数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线定义推出∠CAF=∠DAF，根据SAS证△CAF≌△DAF，推出∠ADF=∠ACF，根据三角形的内角和定理求出∠B=∠ACF=∠ADF，根据平行线判定推出即可；
（2）根据平行线性质推出∠AGF=90°，根据角平分线性质推出即可．

解答：解：（1）DF∥BC，
理由是：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=∠DAF，
在△CAF和△DAF中

AC=AD ∠CAF=∠DAF AF=AF

，
∴△CAF≌△DAF（SAS），
∴∠ADF=∠ACF，
∵CE⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCF=90°，∠B+∠BCF=90°，
∴∠B=∠ACF=∠ADF，
∴DF∥BC．

（2）FG=EF，
证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠AGF=∠ACB=90°，
∴FG⊥AC，
∵CE⊥AB，AF平分∠CAB，
∴FG=EF．

点评：本题考查了全等三角形性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线定义和性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目较好，难度适中．