Question

8．如图1，在平面直角坐标系中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B 两点，交y轴C、D于两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于点G，若A点的坐标为（-2，0），CD=8
（1）求⊙M的半径；
（2）求AE的长；
（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M圆周上运动时，$\frac{OF}{PF}$的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若不变，请说明变化规律．

Answer 1

分析 （1）连接MC，构造直角三角形，利用勾股定理求得半径即可；
（2）首先利用垂径定理得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，然后利用C为$\widehat{AE}$的中点得到$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，从而得到$\widehat{AE}$=$\widehat{CD}$，利用等弧对等弦得到CD=AE即可；
（3）OF与OP的比例关系不变，在直角三角形DMP中，根据射影定理有DM²=MO•MP，①同理可求出OD²=OM•OP；
②然后分三种情况：
A：F与A重合时，OF=OA，PF=PA，可根据②求出OP的长根据①求出MP的长即可求出OP的长，进而可求出所求的比例关系；
B：F与B重合，同一；
C：F不与A、B重合．可通过相似三角形来求解．由于MF=DM，根据①可得出△OMF与△FMP相似，可得出$\frac{OF}{PF}$=$\frac{MO}{MF}$=$\frac{3}{5}$．
综合三种情况即可得出OF：PF的值．

解答 解：（1）如图1，连接MC，
设半径AM=CM=r，则OM=r-2，
由OC²+OM²=MC²得：
4²+（r-2）²=r²，
解得：r=5，
故⊙M的半径为5；

（2）∵直径AB⊥CD，
∴CO=OD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∵C为$\widehat{AE}$的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CD}$，
∴CD=AE=8；

（3）如图2，连接DM，则DM⊥PD，DO⊥PM，
∴△MOD∽△MDP，△MOD∽△DOP，
∴DM²=MO•MP；
DO²=OM•OP，
即4²=3•OP，
∴OP=$\frac{16}{3}$．
当点F与点A重合时：$\frac{OF}{PF}$=$\frac{AO}{AP}$=$\frac{2}{\frac{16}{3}-2}$=$\frac{3}{5}$，
当点F与点B重合时：$\frac{OF}{PF}$=$\frac{OB}{PB}$=$\frac{8}{\frac{16}{3}+8}$=$\frac{3}{5}$，
当点F不与点A、B重合时：连接OF、PF、MF，
∵DM²=MO•MP，
∴FM²=MO•MP，
∴$\frac{FM}{OM}$=$\frac{MP}{FM}$，
∵∠AMF=∠FMA，
∴△MFO∽△MPF，
∴$\frac{OF}{PF}$=$\frac{MO}{MF}$=$\frac{3}{5}$．
∴综上所述，$\frac{OF}{PF}$的比值不变，比值为$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是得到△MOD∽△MDP，△MOD∽△DOP，从而得到DM²=MO•MP，综合性较强，难度较大．