Question

如图，PC经过圆心O，弦AB⊥PC于点D．连接BC和PA，且∠PAB=2∠PCB．
（1）求证：PA为圆O的切线；
（2）延长PA至点E，使PE=PC，若tan∠PCB=

1

3

，求sin∠PEC的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连接AO，CF为直径，如图，根据垂径定理得弧AF=弧BF，再根据圆周角定理得到∠AOF=2∠PCB，由于∠PAB=2∠PCB，则∠PAB=∠AOP，而∠AOD+∠DAO=90°，于是∠PAD+∠DAO=90°，然后根据切线的判定定理可得PA为圆O的切线；
（2）作EH⊥PC于H，连接AF，如图，在Rt△BDC中，利用正切的定义得tan∠DCB=

BD

CD

=

1

3

，于是可设BD=x，则CD=3x，由垂径定理得到AD=BD=x，由圆周角定理得到∠FAD=∠FCB，则在Rt△AFD中，tan∠FAD=

FD

AD

=

1

3

，则FD=

1

3

x，FC=FD+CD=

10

3

x；接着在Rt△APD中，根据勾股定理得PA²=PD²+AD²=PD²+x²，
加上由切割线定理得PA²=PF•PC=（PD-FD）•（PD+CD）=（PD-

1

3

x）（PD+3x），所以PD²+x²=（PD-

1

3

x）（PD+3x），解得PD=

4

3

x，易得PA=

5

3

x，PC=

13

3

x，由PE=PC=

13

3

x得∠PEC=∠PCB，然后证明△PAD∽△PEH，利用相似比可得EH=

13

5

x，PH=

52

15

x，则CH=PC-PH=

13

15

x，在Rt△EHC中利用勾股定理计算出EC=

13 10

15

x，则根据正弦的定义得sin∠ECH=

EH

EC

=

3 10

10

，所以sin∠PEC=

3 10

10

．

解答：（1）证明：连接AO，CF为直径，如图，
∵弦AB⊥PC于点D，
∴弧AF=弧BF，∠AOD=90°，
∴∠AOF=2∠PCB，
∵∠PAB=2∠PCB，
∴∠PAB=∠AOP，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠PAD+∠DAO=90°，即∠PAO=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA为圆O的切线；
（2）解：作EH⊥PC于H，连接AF，如图，
在Rt△BDC中，tan∠DCB=

BD

CD

=

1

3

，
设BD=x，则CD=3x，
∵AB⊥CF，
∴AD=BD=x，
∵∠FAD=∠FCB，
∴在Rt△AFD中，tan∠FAD=

FD

AD

=

1

3

，
∴FD=

1

3

x，
∴FC=FD+CD=

1

3

x+3x=

10

3

x，
在Rt△APD中，PA²=PD²+AD²=PD²+x²，
∵PA为圆O的切线，
∴PA²=PF•PC=（PD-FD）•（PD+CD）=（PD-

1

3

x）（PD+3x），
∴PD²+x²=（PD-

1

3

x）（PD+3x），解得PD=

4

3

x，
∴PA²=PD²+x²=（

4

3

x）²+x²=

25

9

x²，解得PA=

5

3

x，
PC=PD+CD=

13

3

x，
∵PE=PC，
∴PE=

13

3

x，∠PEC=∠PCB，
∵AD∥EH，
∴△PAD∽△PEH，
∴

AD

EH

=

PD

PH

=

PA

PE

，即

x

EH

=

4 3 x

PH

=

5 3 x

13 3 x

，解得EH=

13

5

x，PH=

52

15

x，
∴CH=PC-PH=

13

3

x-

52

15

x=

13

15

x，
在Rt△EHC中，EC=

EH2+CH2

=

13 10

15

x，
∴sin∠ECH=

EH

EC

=

13 5 x

13 10 x 15

=

3 10

10

，
∴sin∠PEC=

3 10

10

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了切割线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义．