Question

x²+

1

x2

+2（x+

1

x

）=1．

Answer 1

考点：换元法解一元二次方程

专题：计算题

分析：先利用完全平方公式把原方程变形得到（x+

1

x

）²+2（x+

1

x

）-3=0，则可利用换元法解方程：设x+

1

x

=t，原方程化为t²+2t-3=0，解得t₁=-3，t₂=1，
然后分别解方程x+

1

x

=-3和x+

1

x

=1即可得到原方程的解．

解答：解：（x+

1

x

）²-2+2（x+

1

x

）=1，即（x+

1

x

）²+2（x+

1

x

）-3=0，
设x+

1

x

=t，
原方程化为t²+2t-3=0，解得t₁=-3，t₂=1，
当t=-3时，x+

1

x

=-3，解得x₁=

-3+ 5

2

，x₂=

-3- 5

2

；
当t=1时，x+

1

x

=1，此方程无实数解，
所以原方程的解为x₁=

-3+ 5

2

，x₂=

-3- 5

2

．

点评：本题考查了换元法解一元二次方程：把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．