Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段AD的长为半径的⊙A与边AC相交于点E，AF⊥DE，垂足为点F，AF的延长线与边BC相交于点G，联结GE．已知DE=10，，．求：
（1）⊙A的半径AD的长；
（2）∠EGC的余切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由在⊙A中，AF⊥DE，DE=10，由垂径定理可求得DF的长，又由cos∠DAF==，利用勾股定理即可求得AD的长；
（2）由AB=AC，AD=AE，易证得△ADE∽△ABC，∠AGC=∠FEG，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，求得FG的长，继而求得∠EGC的余切值．
解答：解：（1）在⊙A中，
∵AF⊥DE，DE=10，
∴DF=EF=DE=×10=5． …（1分）
在Rt△ADF中，由cos∠DAF==，
设AF=12k，AD=13k．…（1分）
利用勾股定理，得AF²+DF²=AD²．
∴（12k）²+5²=（13k）²．
解得：k=1．…（1分）
∴AD=13． …（1分）

（2）由（1），可知F=12k=12．…（1分）
∵=，
∴=．…（1分）
在⊙A中，AD=AE．
又∵AB=AC，
∴．
∴DE∥BC．…（1分）
∴△ADE∽△ABC，∠AGC=∠FEG，
∵AF⊥DE，
∴AG⊥BC，
∴=．
∴AG=36．
∴AF=12，
∴FG=AG-AF=24．…（1分）
在Rt△EFG中，cot∠FEG==．…（1分）
即得cot∠EGC=．…（1分）
点评：此题考查了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．