Question

如图所示，已知点E、F在直角三角形ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．
（1）如图（1），如果点E、F在边AB上，那么线段EG、FH、AC的长度关系为______．
（2）如图（2），如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系为______．
（3）如图（3），如果点E在边AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系为______．
对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予说明．

Answer 1

解：选择（1）进行证明．
证明：过点E作ED∥BC交AC于点D，
∴∠B=∠AED，
∵EG∥AC，△ABC是直角三角形，
∴四边形CDEG是矩形，
∴CD=EG，∠CDE=90°，
∴∠ADE=90°，
∵FH∥AC，
∴∠FHB=∠C=90°，
∴∠ADE=∠FHB=90°，
在△FBH与△AED中，，
∴△FBH≌△AED（AAS），
∴FH=AD，
∴AC=AD+CD=FH+EG，
即EG+FH=AC．
分析：（1）过点E作ED∥BC交AC于点D，可得四边形CDEG是矩形，根据矩形的对边相等可得EG=CD，然后根据两直线平行同位角相等求出∠B=∠AED，利用角角边定理证明△FBH与△AED全等，再根据全等三角形对应边相等可得FH=AD，整理即可得到EG+FH=AC；
（2）与（1）方法相同，可以求出EG+FH=AC；
（3）与（1）方法相同，可以求出FH+AC=EG．
点评：本题考查了全等三角形的判定与证明，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．