Question

18．操作探究．
（1）如图①，点A，B分别在直线l₁，l₂上，点P是线段AB的中点，过点P做一条直线，做一条直线，分别交l₁，l₂于点C，D，使△APC与△BPD的面积相等．
（2）如图②，在△ABC中，过AC边的中点P任意作直线EF，交BC边于点F，交BA的延长线于点F，是比较△PFC与△PAE的面积的大小，并说明理由．
拓展应用
（3）如图③，已知∠MON=60°，点P是∠MON内一点，PC⊥OM于点C，PC=3，OC=6$\sqrt{3}$．过点P作一条直线EF，使其分别交OM，ON于点E、F，试判断△EOF的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据边角边公理证明；
（2）过A作AM∥BC，交EF与D，证明△PAD≌△PCF，根据全等三角形的性质进行比较即可；
（3）延长CP到点C'，使得PC=PC'，过点C'作AB∥OM，过P作任意直线EF，交AB于D，交ON于E，交OM于F，证明△PCF≌△PC'D，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）如图①，在△APC和△BPD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠1=∠2\\ AP=BP\\∠3=∠4\end{array}\right.$
∴△APC≌△BPD；
（2）S_△PEC=S_△PAE∴S_△APC=A_△BPD．
如图②，过A作AD∥BC，交EF与D，
∵P为AC中点，
∴PA=PC，
∵AD∥BC，
∴∠PAD=∠C
在△PAD和△PCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠PAD=∠C}\\{∠APD=∠CPF}\\{PA=PC}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△PCF（ASA），
∴S_△PAD=S_△PCF
∴S_△PAD+S_△EAD＞S_△PCF
即S_△PFC＜S_△PAE；
（3）如图③，延长CP到点C'，使得PC=PC'，
过点C'作AB∥OM，过P作任意直线EF，交AB于D，交ON于E，交OM于F，
∵AB∥OM，
∴∠F=∠1，
在△PCF和△PC'D中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠1}\\{∠DPC′=∠FPC}\\{PC=PC′}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△PC'D（ASA），
∴S_△PCF=S_△PC'D．
∵S_△EOF=S_△ADE+S_{四边形AOFD}=S_△ADE+S_{五边形AOCPD}+S_△POF=S_△ADE+S_{五边形AOCPD}+S_△PO'DS_△ADE+S_{四边形AOCC′}，
∴当S_△ADE=0时，S_△EOF最小．
过A作AG⊥OM于G，则AG=CC'=3+3=6，
在 Rt△AOG中，
∵∠OAG=90°-60°=30°，
∴设OG=x，则OA=2x．
∵OG²+AG²=OA²
∴x²+6²=4x²
∴$x=2\sqrt{3}$，即$OG=2\sqrt{3}$，
∴$CG=OC-OG=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$．
∴$AC'=CG=4\sqrt{3}$，
∴${S_{△EOF最小值}}={S_{四边形AOCC'}}=\frac{1}{2}×（OC+AC'）×AG$=$\frac{1}{2}×（6\sqrt{3}+4\sqrt{3}）×6=30\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、最短路径问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．