Question

已知一元二次方程x²－(2k＋1)x＋k²＋k＝0．

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)证明：∵一元二次方程为x²－(2k＋1)x＋k²＋k＝0，

　　△＝［－(2k＋1)］²－4(k²＋k)＝1＞0，∴此方程有两个不相等的实数根．

　　(2)∵△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，由(1)知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，

　　∴必然有AB＝5或AC＝5，即x＝5是原方程的一个解．

　　将x＝5代入方程x²－(2k＋1)x＋k²＋k＝0，

　　25－5(2k＋1)＋k²＋k＝0，解得k＝4或k＝5.

　　当k＝4时，原方程为x²－9x＋20＝0，x₁＝5，x₂＝4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形；

　　当k＝5时，原方程为x²－11x＋30＝0，x₁＝5，x₂＝6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形；(必须检验方程的另一个解大于0小于10且不等于5)

　　∴k的值为4或5．