Question

16．△ABC中，D是BC上一点，P是AD上一点，若∠1=∠2，PB=PC．求证：AD⊥BC．

Answer 1

分析 作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，由角平分线的性质得出PM=PN，由HL证明Rt△BPM≌Rt△CPN，得出对应角相等∠PBM=∠PCN，再由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PCB，证出∠ABC=∠ACB，得出AB=AC，由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．

解答 证明：作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，如图所示：
∵∠1=∠2，
∴PM=PN，
在Rt△BPM和Rt△CPN中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL），
∴∠PBM=∠PCN，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵∠1=∠2，
∴AD⊥BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．